Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052104412862501915/SYS201205210443121875560892_ST.files/image002.png">（）,設(shè).

（Ⅰ）試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（Ⅱ）試判斷的大小并說(shuō)明理由；

（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的,總存在，滿足,并確定這樣的的個(gè)數(shù).

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）證明見(jiàn)解析。

【解析】

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052104412862501915/SYS201205210443121875560892_DA.files/image003.png">……1分

由；由,所以在上遞增,在上遞減……3分

要使在上為單調(diào)函數(shù),則……4分

（Ⅱ）.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052104412862501915/SYS201205210443121875560892_DA.files/image006.png">在上遞增,在上遞減，所以在處取得極小值……6分

 又，所以在上的最小值為 ……8分

 從而當(dāng)時(shí),，即……9分

（Ⅲ）證：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052104412862501915/SYS201205210443121875560892_DA.files/image018.png">，所以，即為,

   令,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在上有解,并討論解的個(gè)數(shù)……10分

   因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052104412862501915/SYS201205210443121875560892_DA.files/image023.png">,,所以 ①當(dāng)時(shí),,所以在上有解,且只有一解……12分

②當(dāng)時(shí),,但由于,

所以在上有解,且有兩解……13分

③當(dāng)時(shí),,所以在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí),,

所以在上也有且只有一解……14分

綜上所述, 對(duì)于任意的,總存在,滿足,

且當(dāng)時(shí),有唯一的適合題意；當(dāng)時(shí),有兩個(gè)適合題意.