Question

已知四棱錐中，是正方形，E是的中點(diǎn)，

(1)若，求 PC與面AC所成的角
(2) 求證：平面
(3) 求證：平面PBC⊥平面PCD

Answer 1

(1) (2)先證明EO∥PC (3)先證明BC^平面PAB

試題分析：本題第（1）問，關(guān)鍵是找出PC與面AC所成的角，由于，則；第二問，關(guān)鍵是證明EO∥PC，由于EO是三角形PAC的中位線，則EO∥PC，結(jié)合直線與平面平行的判定定理，只要在說明PC平面EBD,EO平面EBD，就可以下結(jié)論P(yáng)C∥平面EBD；第（3）問，先證明PD^BC和BC^CD，則BC^平面PAB，又因?yàn)锽C平面PBC，所以就有平面PBC^平面PCD。
解：平面，是直線在平面上的射影，是直線和平面所成的角。又，四邊形是正方形，，；直線和平面所成的角為
（2）連接AC交BD與O,連接EO, ∵E、O分別為PA、AC的中點(diǎn)
∴EO∥PC  ∵PC平面EBD,EO平面EBD  ∴PC∥平面EBD
（3）∵PD^平面ABCD, BC平面ABCD，∴PD^BC，
∵ABCD為正方形 ∴ BC^CD，
∵PD∩CD="D," PD，CD平面PCD
∴BC^平面PCD
又∵  BC平面PBC，∴平面PBC^平面PCD
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面平行和垂直關(guān)系的判定，直線和平面所成角的計(jì)算．考查考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、推理論證能力。