Question

已知橢圓的方程為，點(diǎn)分別為其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)分別為其左、右焦點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓；以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓；若直線被圓和圓截得的弦長(zhǎng)之比為；
（1）求橢圓的離心率；
（2）己知，問是否存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線被圓和圓截得的弦長(zhǎng)之比為；若存在，請(qǐng)求出所有的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由，得直線的傾斜角為，
則點(diǎn)到直線的距離，
故直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，
直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，                 （3分）
據(jù)題意有：，即，                      （5分）
化簡(jiǎn)得：，
解得：或，又橢圓的離心率；
故橢圓的離心率為．（7分）
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線為；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線不能被兩圓同時(shí)所截；
故可設(shè)直線的方程為，
則點(diǎn)到直線的距離，
由（1）有，得=，
故直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，                       （9分）
則點(diǎn)到直線的距離，
，故直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，             （11分）
據(jù)題意有：，即有，整理得，
即，兩邊平方整理成關(guān)于的一元二次方程得
，                 （13分）
關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，
故有：，
故所求點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0）或（－49，0）．                          （16分）
（注設(shè)過P點(diǎn)的直線為后求得P點(diǎn)坐標(biāo)同樣得分）

略