Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù).
(1)求證：函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；
(3)函數(shù)在上恒有成立，求的取值范圍.

Answer 1

(1) 函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù). (2) 的最小值為，此時(shí)；無最大值. (3) 的取值范圍是. 

試題分析：(1)證明函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)本質(zhì)就是證明在上恒成立.
（2）當(dāng)時(shí),令，然后得到極值點(diǎn)，進(jìn)而求出極值，再與值比較從而得到f(x)的最大值與最小值.
(3) 函數(shù)在上恒有成立問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為,
然后利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)在區(qū)間[1,2]的極值，最值即可求出其最小值，問題得解.
(1)（法一：定義法）
任取且,則.                ········1分
∵，
∴.                                                 ·······3分
∴ 函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).                           ········4分
（法二：導(dǎo)數(shù)法）
當(dāng)，
∴ 函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).                           ········4分
(2) 當(dāng)時(shí)，；
由（1）知函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).                      ·······5分
∴，即                              ·······7分
∴ 的最小值為，此時(shí)；無最大值.                       ·······8分
(3) 依題意， ，即在上恒成立.
∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴                  ······11分
∴ ，
又. ∴
故的取值范圍是.                                           ·······14分
點(diǎn)評(píng)：（1）連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間I上單調(diào)遞增（減）等價(jià)于在區(qū)間I上恒成立.
（2）在求某個(gè)區(qū)間上的最值時(shí)，應(yīng)先求出極值，然后從極值與區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值當(dāng)中找到最大值和最小值.
（3）不等式恒成立問題一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來研究.