Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若y=在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x） 為“一階比增函數(shù)”．
（Ⅰ） 若f（x）=ax²+ax是“一階比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 若f（x）是“一階比增函數(shù)”，求證：?x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）若f（x）是“一階比增函數(shù)”，且f（x）有零點(diǎn)，求證：f（x）＞2013有解．

Answer 1

解：（I）由題意得y==ax+a在（0，+∞）是增函數(shù)，
由一次函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax+a在（0，∞）上是增函數(shù)，
∴a＞0．
（Ⅱ）∵f（x）是“一階比增函數(shù)”，即在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又?x₁，x₂∈（0，+∞），有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
∴，，
∴，，
∴+=f（x₁+x₂）．
（Ⅲ）設(shè)f（x₀）=0，其中x₀＞0．
因?yàn)閒（x）是“一階比增函數(shù)”，所以當(dāng)x＞x₀時(shí)，．
法一：取t∈（0，+∞），滿足f（t）＞0，記f（t）=m．
由（Ⅱ）知f（2t）＞2m，同理f（4t）＞2f（2t）＞4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m．
所以一定存在n∈N*，使得f（2ⁿt）＞2ⁿm＞2013，
所以f（x）＞2013 一定有解．
法二：取t∈（0，+∞），滿足f（t）＞0，記．
因?yàn)楫?dāng)x＞t時(shí)，，所以f（x）＞kx對x＞t成立．
只要 ，則有f（x）＞kx＞2013，
所以f（x）＞2013 一定有解．
分析：（Ⅰ）利用“一階比增函數(shù)”的意義及一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（Ⅱ）利用“一階比增函數(shù)”的意義及增函數(shù)的定義即可證明；
（Ⅲ）利用“一階比增函數(shù)”的意義和（Ⅱ）的結(jié)論即可證明．
點(diǎn)評：正確“一階比增函數(shù)”的意義及增函數(shù)的定義及利用已經(jīng)證明過的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．