Question

【題目】已知橢圓：，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的差為，離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若在軸上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由題意可得：a﹣b，，a2＝b2+c2．聯(lián)立解得：a，c，b．可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)M（t，0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．分類討論：①當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：x＝my+t．與橢圓方程聯(lián)立化為：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＞0．可得|PM|2（1+m2），同理可得：|PQ|2＝（1+m2）．把根與系數(shù)的關(guān)系代入，化簡(jiǎn)整理可得．②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，設(shè)P（2，0），Q（﹣2，0）．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．代入同理可得結(jié)論．

（1）由題意可得：，，．

聯(lián)立解得：，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)，，．

①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：．

聯(lián)立，化為：．．

∴，．

，同理可得：．

∴

.

∵為定值，∴必然有，解得．

此時(shí)為定值，．

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，設(shè)，．，．

此時(shí)，把代入可得：為定值．

綜上①②可得：為定值，．