【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD= ,AB=4.(14分)
(1)求證:M為PB的中點(diǎn);
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大;
(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
【答案】
(1)
證明:如圖,設(shè)AC∩BD=O,
∵ABCD為正方形,∴O為BD的中點(diǎn),連接OM,
∵PD∥平面MAC,PD平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM,
∴PD∥OM,則 ,即M為PB的中點(diǎn);
(2)
解:取AD中點(diǎn)G,
∵PA=PD,∴PG⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,
由G是AD的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn),可得OG∥DC,則OG⊥AD.
以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系,
由PA=PD= ,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0, ),C(2,4,0),B(﹣2,4,0),M(﹣1,2, ),
, .
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為 ,
則由 ,得 ,取z= ,得 .
取平面PAD的一個(gè)法向量為 .
∴cos< >= = .
∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60°;
(3)
解: ,平面PAD的一個(gè)法向量為 .
∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos< >|=| |=| |= .
【解析】(1.)設(shè)AC∩BD=O,則O為BD的中點(diǎn),連接OM,利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD,再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn);
(2.)取AD中點(diǎn)G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,再證明OG⊥AD.以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系,求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3.)求出 的坐標(biāo),由 與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓 + =1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為 .已知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(Ⅱ)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為 ,求直線AP的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,F,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,AA1的中點(diǎn),棱長(zhǎng)為,
(1)求證:平面BDF∥平面B1D1H.
(2)求正方體外接球的表面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,是不共面的三個(gè)向量,則能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是( 。
A. 2,﹣,+2 B. 2,﹣,+2
C. ,2,﹣ D. ,+,﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=,則異面直線AB1和BC1所成角的正弦值為( )
A. 1 B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量 , , 的模分別為1,1, , 與 的夾角為α,且tanα=7, 與 的夾角為45°.若 =m +n (m,n∈R),則m+n= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD為正方形,PD=DC=2,E,F,G分別是AB,PB,CD的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥DC;
(2)求證:GF∥平面PAD;
(3)求點(diǎn)G到平面PAB的距離.
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【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分)
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范圍.
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