【題目】如圖1,梯形中,,,,為的中點(diǎn),將沿翻折,構(gòu)成一個(gè)四棱錐,如圖2.
(1)求證:異面直線與垂直;
(2)求直線與平面所成角的大;
(3)若三棱錐的體積為,求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)60°(3)
【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,通過(guò)證明平面,可得;
(2)由(1)可得為直線與平面所成角,求出即可;
(3)證明平面,可得,可得,進(jìn)而可得為等邊三角形,則可得平面,求出即可.
(1)在圖1中,取中點(diǎn),連接,由已知,得四邊形為矩形,且,得,
則為等邊三角形,故,
故圖2中,,又與是相交直線,
得平面,則.
(2)由(1),得平面,則直線與平面所成角為,
即直線與平面所成角為60°.
(3)在平面內(nèi)做,交于,
因?yàn)?/span>平面,所以平面平面,
又平面與平面的交線為,
,
∴,
∴.
中,,則,
故為等邊三角形.在內(nèi)作,交于,
因?yàn)?/span>平面,所以平面平面,又平面與平面的交線為,
∴平面,∵,∴點(diǎn)到平面的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,,其中為正實(shí)數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意給定的,在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的,,使得成立?若存在,求出正實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,的離心率為,且點(diǎn)在此橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn),且與橢圓交于.兩點(diǎn).若的面積為,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,側(cè)面為正三角形,側(cè)面底面,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,底面是邊長(zhǎng)為2且的菱形,平面,,且,.
(1)求證:平面平面;
(2)點(diǎn)在線段上,且三棱錐的體積是三棱錐的體積的兩倍,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,,,,四邊形ABEF是正方形.將正方形ABEF沿AB折起到四邊形的位置,使平面平面ABCD,M為的中點(diǎn),如圖2.
圖1圖2
(1)求證:;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),若關(guān)于的不等式恒成立,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),且交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上的射影依次為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交軸于點(diǎn),且,當(dāng)變化時(shí),證明: 為定值;
(3)當(dāng)變化時(shí),直線與是否相交于定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;否則,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求在區(qū)間上的值域;
(2)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意給定的,在存在兩個(gè)不同的使得,若存在,求出的范圍,若不存在,說(shuō)出理由.
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