Question

（08年遼寧卷理）在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn).

⑴寫出的方程;

⑵若,求的值;

⑶若點(diǎn)在第一象限,證明:當(dāng)時(shí),恒有.

Answer 1

說(shuō)明：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力．滿分12分．

解析：

（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得，

故．????????????????????????????????????????????????????????? 5分

若，即．

而，

于是，

化簡(jiǎn)得，所以．???????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）

                 

                 

                  ．

因?yàn)?I>A在第一象限，故．由知，從而．又，

故，

即在題設(shè)條件下，恒有．??????????????????????????????????????????????????????????? 12分