Question

已知=（1，2sinx），=（2cos（x+），1），函數(shù)f（x）=•（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）=，求cos（2x-）的值．

Answer 1

解：（1）f（x）=•=2cos（x+）+2sinx
=2cosxcos-2sinxsin+2sinx
=cosx-sinx+2sinx
=cosx+sinx=2（cosx+sinx）
=2sin（x+）
由+2kπ≤x+≤+2kπ得：+2kπ≤x≤+2kπ，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=2sin（x+），
又因為2sin（x+）=，所以sin（x+）=，
即sin（x+）=cos（-x）=cos（x-）=，
所以cos（2x-）=2cos²（x-）-1=．
分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則，計算出•，然后利用兩角和的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并后，提取2，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，確定出f（x）的解析式，由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間[，]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）中求出的f（x）的解析式，令f（x）=，即可求出sin（x+）的值，利用誘導(dǎo)公式求出cos（x-）的值，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式把所求的式子化簡，把求出的cos（x-）的值代入即可求出值．
點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運算法則，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角函數(shù)的恒等變形．要求學(xué)生掌握兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握這些公式是解本題的關(guān)鍵．