Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足an+Sn=2．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求證數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1+S1=2a1=2，則a1=1．

又an+Sn=2，所以an+1+Sn+1=2，兩式相減得an+1= an，

所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列，

所以an=

（2）證明：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為ap+1，aq+1，ar+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N*），則2 = + ，所以22r﹣q=2r﹣p+1．①

又因?yàn)閜＜q＜r，所以r﹣q，r﹣p∈N*．

所以①式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)不成立，原命題得證

【解析】（1）由條件，再寫一式，兩式相減，可得{an}是首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）利用反證法，假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，從而引出矛盾，即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用等差關(guān)系的確定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．