Question

（2004•虹口區(qū)一模）數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一個實數(shù)t，使得bn=

1

3n

(an+t)（n∈Z⁺），{b_n}為等差數(shù)列．有，則求出t，并予以證明；沒有，則說明理由；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．先由95=3a₂+3³-1，求出a₂=23．再由23=3a₁+3²-1，求出a₁=5．
（2）bn=

1

3n

(an+t)為等差數(shù)列，必須b1=

1

3

(t+5)，b2=

1

9

(t+23)，b3=

1

27

(t+95)成等差數(shù)列，得t=-

1

2

． 由此能夠證明當(dāng)t=-

1

2

時，{b_n}是公差為1的等差數(shù)列．
（3）b1=

1

3

(5-

1

2

)=

3

2

，bn=

2n+1

2

． 由an=3n•bn-t=

1

2

[(2n+1)•3n+1]．由此能求出Sn=

n

2

(3n+1+1)．

解答：解：（1）∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
∴95=3a₂+3³-1，
解得a₂=23．
23=3a₁+3²-1，
解得a₁=5．
∴a₁=5，a₂=23． （2分）
（2）bn=

1

3n

(an+t)為等差數(shù)列，必須b1=

1

3

(t+5)，b2=

1

9

(t+23)，b3=

1

27

(t+95)成等差數(shù)列，
得t=-

1

2

． （5分），
即bn=

1

3n

(an-

1

2

)，當(dāng)n=1，2，3成等差．
下證此時b_n對一切n∈Z⁺定成等差數(shù)列．bn-bn-1=

1

3n

(an-

1

2

)-

1

3n-1

(an-1-

1

2

)=

1

3n

(3an-1+3n-

3

2

)-

1

3n-1

(an-1-

1

2

)=1
∴當(dāng)t=-

1

2

時，{b_n}是公差為1的等差數(shù)列． （8分）
（3）b1=

1

3

(5-

1

2

)=

3

2

，
∴bn=

2n+1

2

． （10分）
由an=3n•bn-t=

1

2

[(2n+1)•3n+1]（12分）
 記Sn=

n

i=1

ai
得：Sn=

1

2

[3•3+5•32+…+(2n+1)•3n+n]
錯位相減，得Sn=

n

2

(3n+1+1)． （16分）

點評：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的靈活運用．