Question

【題目】如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，平面，，，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；

(2)若的最大值是，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)

【解析】

（1）推導(dǎo)出AC⊥BM，AC⊥BD，得AC⊥平面BMND，從而可得到證明;（2）由AE＝CE和余弦定理可知，當(dāng)AE最短即AE⊥MN，CE⊥MN時(shí)∠AEC最大，取MN中點(diǎn)H，連接H與AC、BD的交點(diǎn)O，知OH⊥平面ABCD，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用二面角的平面角為，可求出a,然后利用VM﹣NAC＝VM﹣EAC+VN﹣EAC可得結(jié)果.

(1)因?yàn)?/span>平面，則.

又四邊形是菱形，則，又,

所以平面,因?yàn)锳C在平面內(nèi)，

所以平面平面.

(2)設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié). 因?yàn)?/span>平面，則，又為的中點(diǎn)，則，由余弦定理得，．當(dāng)AE最短時(shí)∠AEC最大，此時(shí)，，，因?yàn)锳C=2,,OE=. 取MN的中點(diǎn)H，分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則點(diǎn)， ，，．設(shè)平面的法向量，

則,即 ，取，則，

同理求得平面的法向量.

因?yàn)?/span>是二面角 的平面角，則

，解得或．

由圖可知a<OE=,故 (舍去)，，

因?yàn)?/span>，，，

則.