Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=1，a₁+a₂+…+a₂₀=590

（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；

（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)（其中a＞0，且a≠1），記S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．試比較S_n與的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和．

專題：

等差數(shù)列與等比數(shù)列．

分析：

（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得，解之可得首項(xiàng)和公差，可得通項(xiàng)公式；

（2）可得S_n=log_a[（1+1）（1+）…（1+）]，=，問題轉(zhuǎn)化為比較（1+1）（1+）…（1+）與，推測（1+1）（1+）…（1+）＞，下面由數(shù)學(xué)歸納法證明，可得最后結(jié)論．

解答：

解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得

解得，所以a_n=3n﹣2．

（2）．由a_n=3n﹣2，，

知S_n=log_a（1+1）+log_a（1+）+…+log_a（1+）

=log_a[（1+1）（1+）…（1+）]，

==

要比較S_n與log_aa_n+1的大小，先比較（1+1）（1+）…（1+）與

取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞，…，

由此推測（1+1）（1+）…（1+）＞．              ①

若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_aa_n+1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_aa_n+1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．

（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立．

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞．

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞（1+）=（3k+2）．

因?yàn)?sub>==，

所以（3k+2）＞．

因而（1+1）（1+）…（1+）（1+）＞．

這就是說①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．

由（ⅰ），（ⅱ）知①式對任何正整數(shù)n都成立．由此證得：

當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_aa_n+1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_aa_n+1

由于①等價(jià)于k＜g（α），k∈Z

∴k的最大值為2

點(diǎn)評：

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬中檔題．