Question

（2006•蚌埠二模）“神六”上天并順利返回，讓越來越多的青少年對航天技術(shù)發(fā)生了興趣．某學(xué)校科技小組在計算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗，設(shè)計方案
如圖：航天器運(yùn)行（按順時針方向）的軌跡方程為

x2

100

+

y2

25

=1，變軌（航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞�）后返回的軌跡是以y軸為
對稱軸、M（0，

64

7

）為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為D（8，0），觀測點(diǎn)A（4，0）、B（6，0）同時跟蹤航天器．試問：當(dāng)航天器在x軸上方時，觀測點(diǎn)A、B測得離航天器的距離分別為

2

5

、4

時航天器發(fā)出變軌指令．

Answer 1

分析：由題意及圖形可知變軌點(diǎn)C實(shí)質(zhì)為兩圓錐曲線的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可以先設(shè)出方程，再利用條件建立未知數(shù)的方程進(jìn)而求解，從而可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)曲線方程為y=ax2+

64

7

，由題意可知，0=a•64+

64

7

．
∴a=-

1

7

，
∴曲線方程為y=-

1

7

x2+

64

7

．
設(shè)變軌點(diǎn)為C（x，y），根據(jù)題意可知，拋物線方程與橢圓方程聯(lián)立，
可得4y²-7y-36=0，y=4或y=-

9

4

（不合題意，舍去）．
∴y=4．
∴x=6或x=-6（不合題意，舍去）．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，4），|AC|=2

5

，|BC|=4．
故答案為：2

5

、4．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，考查待定系數(shù)法求解方程的思想，考查了兩方程的交點(diǎn)求解的方法應(yīng)該把兩個方程進(jìn)行聯(lián)立求解的方法，屬于中檔題．