Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，則下列命題正確的有

①③④

．
①若f(x+1)=-

1

f(x)

，則y=f（x）的周期為2；
②y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=0對稱；
③若f（x-1）=f（1-x），且（-2，-1）是f（x）的單調減區(qū)間，則（1，2）是f（x）的單調增區(qū)間；
④若函數y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，則函數y=f（x-2）+1的圖象關于點（1，1）對稱．

Answer 1

分析：由f(x+1)=-

1

f(x)

，知f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱；函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了一個單位而得到，所以函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；若f（x-1）=f（1-x），且（-2，-1）是f（x）的單調減區(qū)間，則（1，2）是f（x）的單調增區(qū)間；若函數y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，函數y=f（x-2）+1的圖象關于點（1，1）對稱．

解答：解：∵f(x+1)=-

1

f(x)

，
∴f（x+2）=-

1

f(x+1)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），
∴y=f（x）的周期為2，故①正確；
：∵f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱
又函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了一個單位而得到，
∴函數y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱．故②不正確；
若f（x-1）=f（1-x），且（-2，-1）是f（x）的單調減區(qū)間，
則（1，2）是f（x）的單調增區(qū)間，故③正確；
∵若函數y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，
函數y=f（x-2）+1的圖象關于點（1，1）對稱．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查函數的圖象及其圖象間的變換，對于常見的類型如：f（x+2）=f（2-x），f（x+2）=-f（2-x），f（x+2）=f（x-2），y=f（x+2）與y=f（2-x）間的關系，要熟練掌握．