Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD=a，PA=PC=，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求證，直線PB與AC垂直；
（3）求二面角A-PB-D的大��；
（4）在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑；
（5）求四棱錐外接球的半徑．

Answer 1

解：（1）證明：∵PD=a，AD=a，PA=，
∴PD²+DA²=PA²，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）連接BD，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PDB∵PB?平面PDB
∴AC⊥PB∴PB與AC所成的角為90°
（3）設AC∩BD=0，過A作AE⊥PB于E，連接OE
∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB
∴∠AEO為二面角A-PB-D的平面角
∵PD⊥平面ABCD，AD⊥AB
∴PA⊥AB在Rt△PDB中，，
在Rt△PAB中，
∵
∴，
在Rt△AOE中，，∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小為60．
（4）設此球半徑為R，最大的球應與四棱錐各個面都相切，
設球心為S，連SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R

S_?ABCD=a²
∵V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC

∴∴
∴球的最大半徑為（）
（5）設PB的中點為F，∵在Rt△PDB中：FP=FB=FD
在Rt△PAB中：FA=FP=FB，在Rt△PBC中：FP=FB=FC
∴FP=FB=FA=FC=FD∴F為四棱錐外接球的球心
則FP為外接球的半徑∵FP=∴
∴四棱錐外接球的半徑為
分析：（1）要證PD⊥平面ABCD，只需證PD垂直于平面ABCD內的兩條相交線，而所給已知量都是數，故可考慮勾股定理的逆定理．
（2）從圖形的特殊性，應先考慮PB與AC是否垂直，若不垂直然后再轉化．
（3）由于AC⊥平面PBD，所以用垂線法作出二面角的平面角．
（4）當所放的球與四棱錐各面都相切時球的半徑最大，即球心到各個面的距離均相等，聯(lián)想到用體積法求解．
（5）四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可，在Rt△PDB中，斜邊PB的中點為F，則PF=FB=FD不要證明FA=FC=FP即可．
點評：本題主要考查棱錐的性質以及內切外接的相關知識點．“內切”和“外接”等有關問題，首先要弄清幾何體之間的相互關系，主要是指特殊的點、線、面之間關系，然后把相關的元素放到這些關系中解決問題，例如本例中球內切于四棱錐中時，球與四棱錐的五個面相切，即球心到五個面的距離相等．求體積或運用體和解決問題時，經常使用等積變形，即把一個幾何體割補成其它幾個幾何體的和或差．