Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當0＜x＜y＜e²且x≠e時，試比較

y

x

與

1-lny

1-lnx

的大�。�

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）=a-

1

x

．通過在x=1處取得極值，得出a=1；將f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，將b分離得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用導數(shù)求最小值．
（2）由（1）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上為減函數(shù)，g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

，考慮將1-lnx除到右邊，為此分1-lnx正負分類求解．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．
∵函數(shù)在x=

1

a

處取得極值，∴a=1，
f（x）=x-1-lnx，
∵f（x）≥bx-2，移項（1-b）x＞lnx-1，將b分離得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，
則令g′（x）=

lnx-2

x2

，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e²處取得極小值，也就是最小值．此時g（e²）=1-

1

e2

，
所以b≤1-

1

e2

．
（1）由（1）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上為減函數(shù)．0＜x＜y＜e²且x≠e時，
有g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

①
當0＜x＜e時，1-lnx＞0，由①得，

y

x

＞

1-lny

1-lnx

當e＜x＜e²時，1-lnx＜0，由①得

y

x

＜

1-lny

1-lnx

．

點評：本題考查函數(shù)與導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，并利用單調(diào)性比較大小，考查了分類討論、推理計算能力．