Question

（本題滿分15分）

設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．

⑴若是該橢圓上的一點(diǎn)，且，求的面積；

⑵若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；

⑶設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）的最大值為1，最小值為-2（3）或

【解析】

試題分析：（1）易知，，，所以，，

所以,又是該橢圓上的一點(diǎn)，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511544598111787/SYS201307051155368763983795_DA.files/image013.png">，所以在中利用余弦定理可知：,

即，

所以的面積為.                                    ……5分

（2）解法一：設(shè)P，

則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070511544598111787/SYS201307051155368763983795_DA.files/image022.png">，故當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值－2；

當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1。                         ……10分

解法二：（1）易知，，，所以，，設(shè)P，則

（以下同解法一）。          ……10分

（3）顯然直線不滿足題設(shè)條件。

可設(shè)直線：，A（），B（），

聯(lián)立，消去，整理得：，

∴，

由得：或 ①

又，

∴，

又，

∵，即，∴    ②

故由①②得或。                                          ……15分

考點(diǎn)：本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、三角形面積、余弦定理和向量的數(shù)量積的應(yīng)用等，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：第（1）問求三角形的面積，只需求出即可；第（3）中設(shè)直線方程時(shí)，要考慮直線的斜率是否存在.