Question

某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形薄板，其周長(zhǎng)為4米，這種薄板須沿其對(duì)角線折疊后使用．如圖所示，ABCD(AB>AD)為長(zhǎng)方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點(diǎn)P.當(dāng)△ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時(shí)制冷效果最好．

(1)設(shè)AB＝x(米)，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫出x的取值范圍；
(2)若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？
(3)若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？

Answer 1

（1）y＝2(1－)，1<x<2.
（2）長(zhǎng)為米，寬為(2－)米時(shí)，節(jié)能效果最好
（3）薄板長(zhǎng)為米，寬為(2－)米時(shí)，制冷效果最好

解：(1)由題意，AB＝x，BC＝2－x.
x>2－x，故1<x<2.
設(shè)DP＝y(tǒng)，則PC＝x－y.
又△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.
由PA²＝AD²＋DP²，
得(x－y)²＝(2－x)²＋y²，
y＝2(1－)，1<x<2.
(2)記△ADP的面積為S₁，
則S₁＝(1－)(2－x)＝3－(x＋)≤3－2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝∈(1,2)時(shí)，S₁取得最大值．
故當(dāng)薄板長(zhǎng)為米，寬為(2－)米時(shí)，節(jié)能效果最好．
(3)記凹多邊形ACB′PD的面積為S₂，
則S₂＝x(2－x)＋(1－)(2－x)＝3－(x²＋)(1<x<2)，
于是S′₂＝－ (2x－)＝＝0，得x＝.
關(guān)于x的函數(shù)S₂在(1，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝時(shí)，S₂取得最大值．
故當(dāng)薄板長(zhǎng)為米，寬為(2－)米時(shí)，制冷效果最好．