Question

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
(Ⅱ)當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

Answer 1

(1) 的極大值為，此即為最大值；(2) 。

試題分析：(1)依題意，知的定義域?yàn)?0，＋∞)，當(dāng)時(shí)，，
……………2分
令＝0，解得．(∵)
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．
所以的極大值為，此即為最大值 ……………4分
(2)因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003207940711.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則．令，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003208049459.png" style="vertical-align:middle;" />，， 所以(舍去)，，……  6分
當(dāng)時(shí)，，在(0，)上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在(，＋∞)單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，＝0，取最小值．
則既……………10分
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003208049459.png" style="vertical-align:middle;" />，所以(*)
設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003208579528.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程(*)的解為，即，解得………12分
(直接看出x=1時(shí)，m=1/2但未證明唯一性的給3分)
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況，得出方程解的存在情況。涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。