【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax,其中a∈R.
(Ⅰ) 當(dāng)a=﹣1時(shí),求證:f(x)≤0;
(Ⅱ) 對任意x2≥ex1>0,存在x∈(﹣1,+∞),使 成立,求a的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)

【答案】解:(Ⅰ)證明:當(dāng) a=﹣1時(shí),f(x)=ln(x+1)﹣x(x>﹣1),
,令f'(x)=0,得x=0.
當(dāng)﹣1<x<0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>0時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
故當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,也為最大值,
所以f(x)max=f(0)=0,
所以,f(x)≤0,得證.
(Ⅱ)不等式
即為

=
.故對任意t≥e,存在x∈(﹣1,+∞),使 恒成立,
所以
設(shè) ,則 ,
設(shè)u(t)=t﹣1﹣lnt,知 對于t≥e恒成立,
則u(t)=t﹣1﹣lnt為[e,+∞)上的增函數(shù),
于是u(t)=t﹣1﹣lnt≥u(e)=e﹣2>0,
對于t≥e恒成立,
所以 為[e,+∞)上的增函數(shù),
所以 ;
設(shè)p(x)=﹣f(x)﹣a,即p(x)=﹣ln(x+1)﹣ax﹣a,
當(dāng)a≥0時(shí),p(x)為(0,+∞)上的減函數(shù),
且其值域?yàn)镽,可知符合題意.
當(dāng)a<0時(shí), ,由p'(x)=0可得 ,
由p'(x)>0得 ,則p(x)在 上為增函數(shù),
由p'(x)<0得 ,則p(x)在 上為減函數(shù),
所以
從而由 ,解得 ,
綜上所述,a的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而證明結(jié)論即可;(Ⅱ)令 ,問題轉(zhuǎn)化為 ,設(shè) ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知全集U=R,集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}, ,那么集合A∩(UB)=(
A.[﹣2,4)
B.(﹣1,3]
C.[﹣2,﹣1]
D.[﹣1,3]

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A.
B.
C.
D.

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(1)求曲線 的方程;
(2)求證:直線 的斜率為定值.

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【題目】已知 為圓 上的動(dòng)點(diǎn), 的坐標(biāo)為 在線段 上,滿足 .
(Ⅰ)求 的軌跡 的方程.
(Ⅱ)過點(diǎn) 的直線 交于 兩點(diǎn),且 ,求直線 的方程.

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【題目】某同學(xué)在研究下學(xué)習(xí)中,關(guān)于三角形與三角函數(shù)知識的應(yīng)用(約定三內(nèi)角,,的對邊分別為,,)得出如下一些結(jié)論:

(1)若是鈍角三角形,則;

(2)若是銳角三角形,則

(3)在三角形中,若,則;

(4)在中,若,,則.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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【題目】某種商品在30天內(nèi)每克的銷售價(jià)格(元)與時(shí)間的函數(shù)圖像是如圖所示的兩條線段,(不包含,兩點(diǎn));該商品在 30 天內(nèi)日銷售量(克)與時(shí)間(天)之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示.

5

1

5

2

0

3

0

銷售量

3

5

2

5

2

0

1

0

(1)根據(jù)提供的圖象,寫出該商品每克銷售的價(jià)格(元)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出一個(gè)反映日銷售量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式;

(3)在(2)的基礎(chǔ)上求該商品的日銷售金額的最大值,并求出對應(yīng)的.

(注:日銷售金額=每克的銷售價(jià)格×日銷售量)

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B.a R,“ ”是“a>1”的必要不充分條件
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D.“若 ,則a<b”的逆命題為真命題

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