已知函數(shù)f(x)=2(ln
1+x
+
1
2
x2)-ax
,其中a為常數(shù).
(Ⅰ)若f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)求證:D
n
k=2
k-1
k2
<ln
n+1
2
分析:(1)根據(jù)題意,由函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,可得f′(x)=2x-a+
1
x+1
≥0在(0,1)上恒成立,進而轉(zhuǎn)化為2x+
1
x+1
≥a在(0,1)上恒成立,令t=2x+
1
x+1
,通過對t求導判斷單調(diào)性,可得t的最小值為1,由不等關(guān)系可得答案.
(2)由(1)的結(jié)論,分析可得f(x)>f(0),化簡可得ln(x+1)>x-x2,令x=
1
n
,(n≥2),可得ln(
1
n
+1)>
1
n
-
1
n2
,變形可得ln
n+1
n
n-1
n2
,所以
n
k=2
k-1
k2
=
1
22
+
2
32
+…+
n-1
n2
<ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n+1
n
,由對數(shù)的運算性質(zhì),化簡可得證明.
解答:解:(1)根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=2(ln
1+x
+
1
2
x2)-ax
在(0,1)上單調(diào)遞增,
則f′(x)=2x-a+
1
x+1
≥0在(0,1)上恒成立;
即2x+
1
x+1
≥a在(0,1)上恒成立,
令t=2x+
1
x+1
,則t′=1+(
1
x+1
)′=1-
1
(x+1)2

又由x∈(0,1),則t′>0,
則t在(0,1)是增函數(shù),
故有2x+
1
x+1
>1,
所以求得a≤1,
(2)證明:由(1)可得,當a=1時,f(x)在(0,1)上遞增,
所以f(x)>f(0),即ln(x+1)>x-x2
令x=
1
n
,(n≥2)則
1
n
∈(0,
1
2
]⊆(0,1),
所以有l(wèi)n(
1
n
+1)>
1
n
-
1
n2
,變形可得ln
n+1
n
n-1
n2

所以
n
k=2
k-1
k2
=
1
22
+
2
32
+…+
n-1
n2
<ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n+1
n
=ln
n+1
2
;
即原不等式得證.
點評:本題考查不等式的證明與利用導數(shù)求函數(shù)的最值;(1)中注意x的范圍是(0,1),因(x+1)的范圍,不能將2x+
1
x+1
轉(zhuǎn)化為2(x+1)+
1
x+1
-2后,直接用基本不等式求其最小值.
練習冊系列答案
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2-xx+1
;
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2-x-1,x≤0
x
,x>0
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3
3

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3
2
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3
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2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當x=
3
3
時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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