Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點(diǎn)P，Q，R分別是棱AB，CC₁，D₁A₁的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁D⊥平面PQR；
（2）設(shè)二面角B₁-PR-Q的大小為θ，求|cosθ|．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積為0，判斷向量垂直，再利用線面垂直的判定定理可以證明；
（2）求出平面B₁PR的一個法向量，利用向量的夾角公式，我們可以求出向量的夾角的余弦值，這樣，我們就利用求出|cosθ|．

解答：解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P（1，0，0），
Q（2，2，1），R（0，1，2），D（0，2，0），B₁（2，0，2）
∴

PR

=(-1，1，2)，

PQ

=(1，2，1)，

B1D

=(-2，2，-2)
∴

PR

•

B1D

=2+2-4=0，

PQ

•

B1D

=-2+4-2=0
∴

PR

⊥

B1D

，

PQ

⊥

B1D

∵PR∩PQ=P，PR，PQ⊆平面PQR；
∴B₁D⊥平面PQR；
（2）由（1）知，

B1D

是平面PQR的一個法向量
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面B₁PR的一個法向量
∵

B1P

=(-1，0，-2)
∴

n • B1P =0 n • PR =0

，∴

-x-2z=0 -x+y+2z=0

取z=1，則x=-2，y=-4
∴平面B₁PR的一個法向量為

n

=(-2，-4，1)
∴cos＜

n

，

B1D

＞ =

n • B1D

| n |  | B1D |

=

4-8-2

2 3 × 21

=-

7

7

∴|cosθ|=

7

7

點(diǎn)評：利用空間向量解決立體幾何問題優(yōu)點(diǎn)是減少輔助線的添加，利用代數(shù)的方法解決立體幾何問題，這是向量的一種創(chuàng)新運(yùn)用．