【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，為正三角形，，，點，分別為線段、的中點，、分別為線段、上一點，且，.

（1）確定點的位置，使得平面；

（2）試問：直線上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的大小為，若存在，求的長；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）詳見解析 （2）存在點，且

【解析】（1）為線段的靠近的三等分點.

在線段上取一點，使得，因為，∴，因為為中點，∴，當為線段靠近的三等分點時，即，，又易知，∴.又，所以平面平面，因為平面，所以平面.

（2）取中點，連接，因為為正三角形，所以，又側(cè)面底面，所以底面，以所在直線為軸，的中垂線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得平面的一個法向量為，易得平面的一個法向量為，所以，解得，故存在點，且.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如下圖，已知橢圓的上頂點為，左、右頂點為，右焦點為， ，且的周長為14.

（I）求橢圓的離心率；

（II）過點的直線與橢圓相交于不同兩點，點N在線段上．設(shè)，試判斷點是否在一條定直線上，并求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】編號為A，B，C，D，E的5個小球放在如圖所示的5個盒子里，要求每個盒子只能放1個小球，且A球不能放在1，2號盒子里，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，求不同的放法有多少種？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，函數(shù)的兩個極值點為， ，且.求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為， 只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如圖：

（分鐘）

25

30

35

40

頻數(shù)（次）

20

30

40

10

（1）求的分布列與數(shù)學期望；

（2）劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航，某時刻航行至處，此時測得其東北方向與它相距海里的處有一外國船只，且島位于海監(jiān)船正東海里處.

（1）求此時該外國船只與島的距離；

（2）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時海里的速度沿正南方向航行，為了將該船攔截在離島海里處，不讓其進入島海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓相交于兩點，與軸， 軸分別相交于點和點，且，點是點關(guān)于軸的對稱點， 的延長線交橢圓于點，過點分別做軸的垂線，垂足分別為.

（1） 若橢圓的左、右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上，求橢圓的方程；

（2）當時，若點平分線段，求橢圓的離心率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某土特產(chǎn)銷售總公司為了解其經(jīng)營狀況，調(diào)查了其下屬各分公司月銷售額和利潤，得到數(shù)據(jù)如下表：

分公司名稱

雅雨

雅魚

雅女

雅竹

雅茶

月銷售額（萬元）

3

5

6

7

9

月利潤額（萬元）

2

3

3

4

5

在統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)月銷售額和月利潤額具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù)，求月利潤額與月銷售額之間的線性回歸方程；

（2）若該總公司還有一個分公司“雅果”月銷售額為10萬元，試估計它的月利潤額是多少？

（參考公式： ， ，其中： ， ）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份

2006

2008

2010

2012

2014

需求量(萬噸)

236

246

257

276

286

(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸方程＝x＋；

(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2018年的糧食需求量．

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