Question

【題目】已知等軸雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、在直線上，線段的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．

(1)若已知下列所給的三個(gè)方程中有一個(gè)是等軸雙曲線的方程：①；②；③．請(qǐng)推理判斷哪個(gè)是等軸雙曲線的方程，并求出此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)；

(2)現(xiàn)要在等軸雙曲線上選一處建一座碼頭，向、兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從到、從到修建公路的費(fèi)用都是每單位長(zhǎng)度萬元，則碼頭應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低？

Answer 1

【答案】（1）實(shí)軸長(zhǎng)為；（2）碼頭應(yīng)在建點(diǎn)處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低

【解析】

（1）顯然①的焦點(diǎn)不在直線上，不滿足條件；對(duì)于②，顯然點(diǎn)不在曲線上；對(duì)于③符合條件，聯(lián)立可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出實(shí)軸長(zhǎng)即可.

（2）由題意，實(shí)際問題可轉(zhuǎn)化為在雙曲線上求一點(diǎn)P,使最小，分析易得P位于第一象限，設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為,由雙曲線定義可知，只需求的最小值即可.

(1)、雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以①不是雙曲線的方程

雙曲線不經(jīng)過點(diǎn)，所以②不是雙曲線的方程，所以③是等軸雙曲線的方程,

等軸雙曲線的焦點(diǎn)、在直線上，所以雙曲線的頂點(diǎn)也在直線上，

聯(lián)立方程，解得雙曲線的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，兩頂點(diǎn)間距離為6，

所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為

(2)所求問題即為：在雙曲線求一點(diǎn)，使最小．

首先，點(diǎn)應(yīng)該選擇在等軸雙曲線的中第一象限的那一支上

等軸雙曲線的的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以其焦距為

又因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、在直線上，線段的中點(diǎn)是原點(diǎn)，所以是的一個(gè)焦點(diǎn)，

設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義知：

所以，要求的最小值，只需求的最小值，直線的方程為，所以直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為 ，

所以碼頭應(yīng)在建點(diǎn)處，才能使修建兩條公路的總費(fèi)用最低