【題目】如圖,設(shè)L、M、N分別為的∠BAC、∠ CBA、∠ ACB內(nèi)的點,且∠BAL=∠ ACL,∠ LBA=∠ LAC,∠ CBM=∠ BAM,∠ MCB=∠ MBA,∠ ACN=∠ CBN,∠ NAC=∠ NCB.
證明:(1) AL、BM、CN三線交于一點P;
(2)L、M、N、P四點共圓.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)如圖,設(shè)AL與BC交于點D,BM與CA交于點E,CN與AB交于點F.
由∠BAL=∠ACL,∠ABL=∠CAL,得.
由∠BLD=∠BAL+∠LBA=∠ACL+∠LAC=∠DLC
即LD平分∠BLC,得.
類似地,,.
故.
由塞瓦定理,知AD、BE、CF三線共點,即AL、BM、CN三線共點,記交點為P.
(2)如圖,記的外心為O.注意到,∠BAC=∠ACL,∠LBA=∠LAC
則.
于是,B、O、L、C四點共圓,即點O在的外接圓上.
因為AD平分∠BLC,所以,直線AD與BC的垂直平分線的交點為的外接圓的弧(不含點L)的中點K.
故OK為外接圓的直徑,,即∠OLP=90°.
類似地,∠OMP=90°,∠ONP=90°.
因此,點L、M、N均在以O(shè)P為直徑的圓上,L、M、N、P四點共圓.
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【題目】某國建了一座時間機器,形似一條圓形地鐵軌道,其上均勻設(shè)置了2014個站臺(編號依次為l,2,…,2014)分別對應(yīng)一個年份,起始站及終點站均為第1站(對應(yīng)2014年).為節(jié)約成本,機器每次運行一圈,只在其中一半的站臺停靠,出于技術(shù)原因,每次至多行駛?cè)颈仨毻?恳淮,且所?康娜蝺蓚站臺不能是圓形軌道的對徑點.試求不同的停靠方式的種數(shù).
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【題目】給出下列命題,其中正確命題有( )
A.空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底
B.已知向量,則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底
C.是空間四點,若不能構(gòu)成空間的一個基底,那么共面
D.已知向量組是空間的一個基底,若,則也是空間的一個基底
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【題目】已知圓與定點,動圓過點且與圓相切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)若過定點的直線交軌跡于不同的兩點、,求弦長的最大值.
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【題目】改革開放40年,我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識,某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機抽取男女駕駛員各50人,進(jìn)行問卷測評,所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識強.
安全意識強 | 安全意識不強 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 |
(Ⅰ)求的值,并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率;
(Ⅱ)已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識與性別有關(guān);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人,求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.
附:,其中
0.010 | 0.005 | 0.001 | |
6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點,動點在橢圓:上,該橢圓的左頂點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓外一點滿足,平行于軸,,動點在直線上,滿足.設(shè)過點且垂直的直線,試問直線是否過定點?若過定點,請寫出該定點,若不過定點請說明理由.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.某班位同學(xué)從文學(xué)、經(jīng)濟(jì)和科技三類不同的圖書中任選一類,不同的結(jié)果共有種;
B.甲乙兩人獨立地解題,已知各人能解出的概率分別是,則題被解出的概率是;
C.某校名教師的職稱分布情況如下:高級占比,中級占比,初級占比,現(xiàn)從中抽取名教師做樣本,若采用分層抽樣方法,則高級教師應(yīng)抽取人;
D.兩位男生和兩位女生隨機排成一列,則兩位女生不相鄰的概率是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值(單位:)數(shù)據(jù),繪制如下折線圖:
那么,下列敘述錯誤的是( )
A. 各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)
B. 全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大
C. 全年中各月最低氣溫平均值不高于的月份有5個
D. 從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢
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