Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝e^x－ax－2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

Answer 1

解析　(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝e^x－a.

若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．

若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．

(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e^x－1)＋x＋1.

故當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價(jià)于

k<ex－1(x＋1)＋x(x>0)． ①

令g(x)＝ex－1(x＋1)＋x，則g′(x)＝(ex－1)2(－xex－1)＋1＝(ex－1)2(ex(ex－x－2)).

由(1)知，函數(shù)h(x)＝e^x－x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零點(diǎn)．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈(1,2)．

當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(α，＋∞)時(shí)，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．又由g′(α)＝0，可得e^α＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等價(jià)于k<g(α)，故整數(shù)k的最大值為2.