Question

求下列各題的最值．
（1）已知x＞0，y＞0，lgx+lgy=1，，求z=

2

x

+

5

y

的最小值；
（2）x＞0，求f(x)=

12

x

+3x的最小值；
（3）x＜3，求f(x)=

4

x-3

+x的最大值；
（4）x∈R，求f(x)=sin2x+1+

5

sin2x+1

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由lgx+lgy=1得xy=10，故可用基本不等式．
（2）由x＞0，

12

x

•3x=36是常數(shù)，故可直接利用基本不等式
（3）因

4

x-3

•x不是常數(shù)，故需變形．f(x)=

4

x-3

+x-3+3，又x-3＜0，故需變號(hào)．
（4）雖然(sin2x+1)•

5

sin2x+1

=5(常數(shù))，但利用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到，所以利用函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）由已知條件lgx+lgy=1，可得xy=10．則

2

x

+

5

y

=

2y+5x

10

≥

2 10xy

10

=2．
∴(

2

x

+

5

y

)min=2．當(dāng)且僅當(dāng)2y=5x，即x=2，y=5時(shí)等號(hào)成立．
（2）∵x＞0，∴f(x)=

12

x

+3x≥2

12 x •3x

=12．等號(hào)成立的條件是

12

x

=3x，即x=2，
∴f（x）的最小值是12
（3）∵x＜3，∴x-3＜0，∴3-x＞0
∴f(x)=

4

x-3

+x=

4

x-3

+(x-3)+3=-[

4

x-3

+(x-3)]+3≤-2

4 x-3 •(x-3)

+3=-1，
當(dāng)且僅當(dāng)

4

3-x

=3-x，即x=1時(shí)，等號(hào)成立．故f（x）的最大值為-1．
（4）令sin2x+1=t，則t∈[1，2]，故g(t)=t+

5

t

．任取t1，t2∈[1，2]且t1＜t2，
則g(t1)-g(t2)=(t1-t2)-(

5

t1

-

5

t2

)
=(t1-t2)-

5(t1-t2)

t1t2

=(t1-t2)(1-

5

t1t2

)
=(t1-t2)•

t1t2-5

t1t2

．∵t1＜t2且t1，t2∈[1，2]，
∴t₁-t₂＜0，t₁t₂-5＜0，故g（t₁）-g（t₂）＞0，∴g（t₁）＞g（t₂），
∴g(t)在[1，2]上是減函數(shù)，∴g(t)min=g(2)=2+

5

2

=

9

2

，∴f(x)min=

9

2

，
等號(hào)成立的條件是sin²x+1=2．sin²x=1，sin²x=±1，
∴x=kπ+

π

2

(k∈Z)
故f(x)的最小值是

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式．在使用均值不等式時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件．