【題目】設(shè)數(shù)列的前n項和為,對一切,點都在函數(shù)的圖像上.
(1)證明:當時,;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)設(shè)為數(shù)列的前n項的積,若不等式對一切成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析; (2) (3)
【解析】
(1)根據(jù)點在函數(shù)圖像上,代入點坐標,化簡后結(jié)合即可證明.
(2)根據(jù)(1)所得遞推公式,遞推作差后可得奇偶項分別為等差數(shù)列,根據(jù)和公差即可求得通項公式.
(3)根據(jù)為數(shù)列,代入的通項公式求得的表達式,構(gòu)造函數(shù);代入的通項公式求得函數(shù),根據(jù)恒成立求得即可.通過的單調(diào)性求得,代入解不等即可得實數(shù)a的取值范圍.
(1)證明: 因為對一切,點都在函數(shù)的圖像上
所以,化簡可得
當時,
兩式相減可得
即()
原式得證.
(2)由(1)可知
所以
兩式相減,可得
所以數(shù)列的奇數(shù)項公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項公差為4的等差數(shù)列.
由(1)可知
則當時, 求得
則當時, ,即求得
所以當為奇數(shù)時,
所以當為偶數(shù)時,
綜上可知數(shù)列的通項公式為
(3)因為
所以
所以
又因為
所以對一切成立
即對一切成立
只需滿足即可
令
則
所以
所以
即為單調(diào)遞減數(shù)列
所以
所以即可,化簡可得
解不等式可得,或
故實數(shù)a的取值范圍為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為常數(shù)).曲線在點處的切線與軸平行.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ) 設(shè),其中為的導函數(shù).
證明:對任意,.
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【題目】某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m),如示意圖,垂直放置的標桿BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
(1)該小組已經(jīng)測得一組α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據(jù)此算出H的值
(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d(單位m),使α與β之差較大,可以提高測量精確度,若電視塔實際高度為125m,問d為多少時,α-β最大
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【題目】為培養(yǎng)學生的閱讀習慣,某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動. 活動后,為了解閱讀情況,學校統(tǒng)計了甲、乙兩組各10名學生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值,求圖中a的所有可能取值;
(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學生稱為“閱讀達人”. 設(shè),現(xiàn)從所有的“閱讀達人”里任取2人,求至少有1人來自甲組的概率;
(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個閱讀量為10的學生,并記新得到的甲組閱讀量的方差為,試比較,的大小.(結(jié)論不要求證明)
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,M是橢圓C的上頂點,,F(xiàn)2是橢圓C的焦點,的周長是6.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)過動點P(1,t)作直線交橢圓C于A,B兩點,且|PA|=|PB|,過P作直線l,使l與直線AB垂直,證明:直線l恒過定點,并求此定點的坐標.
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【題目】下列命題正確的是( 。
A.“若x=3,則x2﹣2x﹣3=0”的否命題是:“若x=3,則x2﹣2x﹣3≠0”
B.在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件
C.若p∧q為假命題,則p∨q一定為假命題
D.“存在x0∈R,使得ex0≤0”的否定是:不存在x0∈R,使得e0”
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【題目】已知常數(shù),數(shù)列的前項和為, , ;
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,且是單調(diào)遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若, ,對于任意給定的正整數(shù),是否存在正整數(shù)、,使得?若存在,求出、的值(只要寫出一組即可);若不存在,請說明理由;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)給出下列4個命題:①當且僅當時,是偶函數(shù);②函數(shù)一定存在零點;③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;④當時,函數(shù)的最小值為,那么所有真命題的序號是_______.
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