Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且cosA=

1

3

．
（1）求sin²

B+C

2

的值；
（2）若a=

3

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得sin2

B+C

2

=

1

2

(1+cosA)，代入題中數(shù)據(jù)即可得到所求的值．
（2）由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

的式子，算出

2

3

bc=b2+c2-a2，再由基本不等式及a=

3

，即可算出當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

2

時(shí)，bc=

9

4

最大，得到所求最大值．

解答：解：（1）∵B+C=π-A，∴cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA
可得sin2

B+C

2

=

1

2

[1-cos(B+C)]=

1

2

(1+cosA)…（2分）
代入題中數(shù)據(jù)，可得sin2

B+C

2

=

1

2

(1+

1

3

)=

2

3

…（4分）
（2）∵由余弦定理，得

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

3

∴

2

3

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，…（6分）
又∵a=

3

，∴代入上式，解出bc≤

9

4

．
當(dāng)且僅當(dāng) b=c=

3

2

時(shí)，bc=

9

4

取得最大值，故bc的最大值是

9

4

…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形一角的余弦，求三角函數(shù)式的值并依此求bc的最大值．著重考查了正余弦定理、三角恒等變換和利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．