【題目】如圖,三棱錐中, 平面, , 的中點(diǎn), 的中點(diǎn),點(diǎn)上, .

(1)證明: 平面

(2)若,求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明過(guò)程見(jiàn)解析;(Ⅱ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)取的中點(diǎn),利用中位線的性質(zhì),可證明平面GEF//平面ABC,進(jìn)而得到EF//平面ABC;(Ⅱ)由題意,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,求出法向量之間的夾角即可求出二面角的余弦值.

試題解析:(Ⅰ)證明:如圖,取AD中點(diǎn)G,連接GE,GF,

則GE//AC,GF//AB,

因?yàn)镚E∩GF=G,AC∩AB=A,所以平面GEF//平面ABC,

所以EF//平面ABC.

(Ⅱ)作BO⊥AC于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OH//PA,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系,

,

則平面CDA的一個(gè)法向量為

設(shè)平面CDB的一個(gè)法向量為

可取,所以,

所以二面角BCDA的余弦值為

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A.
B.
C.
D.

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