Question

（2011•江西模擬）某品牌專賣店準(zhǔn)備在國(guó)慶期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該店決定從2種不同型號(hào)的洗衣機(jī)，2種不同型號(hào)的電視機(jī)和種不同型號(hào)的空調(diào)中（不同種商品的型號(hào)不同），選出4種不同型號(hào)的商品進(jìn)行促銷，該店對(duì)選出的商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高150元，同時(shí)，若顧客購買該商品，則允許有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都獲得m元獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是

1

2

，設(shè)顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額（單位：元）為隨機(jī)變量X．
（Ⅰ）求選出的4種不同型號(hào)商品中，洗衣機(jī)、電視機(jī)、空調(diào)都至少有一種型號(hào)的概率；
（Ⅱ）請(qǐng)寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，問該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要低于多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求選出的4種不同型號(hào)商品中，洗衣機(jī)、電視機(jī)、空調(diào)都至少有一種型號(hào)包括洗衣機(jī)、電視機(jī)各一種型號(hào)，空調(diào)兩種型號(hào)；洗衣機(jī)兩種型號(hào)，電視機(jī)、空調(diào)各一種型號(hào)；電視機(jī)兩種型號(hào)，洗衣機(jī)、空調(diào)各一種型號(hào)，從而可求概率；
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m，分別求出相應(yīng)的概率，即可寫出X的分布列，利用期望公式可求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，故可建立不等式，由此可求每次中獎(jiǎng)最低獎(jiǎng)金．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)選出的4種不同型號(hào)商品中，洗衣機(jī)、電視機(jī)、空調(diào)都至少有一種型號(hào)為事件A；
則  P(A)=

2 C 1 2 C 1 3 + C 1 2 C 1 2 C 2 3

C 4 7

=

24

35

（4分）
（Ⅱ）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m．
則P（X=0）=

C

0 3

×(

1

2

)0×(

1

2

)3=

1

8

，P（X=m）=

C

1 3

×(

1

2

)1×(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2m）=

C

2 3

×(

1

2

)2×(

1

2

)1=

3

8

，P（X=3m）=

C

3 3

×(

1

2

)3×(

1

2

)0=

1

8

   （8分）
所以，顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額K的分布列為：

X	0	m	2m	3m
P	1 8	3 8	3 8	1 8

（9分）
于是顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望是EX=0×

1

8

+m×

3

8

+2m×

3

8

+3m×

1

8

=1.5m．      （10分）
（Ⅲ）要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，因此應(yīng)有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要低于100元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，確定X的所有可能的取值是解題的關(guān)鍵．