已知函數(shù)f(x)=ax,(a>0且a≠1)的反函數(shù)是y=g(x).
(1)求函數(shù)y=g(x)的表達式;
(2)對于函數(shù)y=g(x),當x∈[2,8]時,最大值與最小值的差是2,求a的值;
(3)在(2)的條件下,當x∈[0,3]時,求函數(shù)y=f(x)的值域.
分析:(1)先令y=f(x)=ax,用y表示出x,再交換x,y的位置,即可得出反函數(shù)
(2)對a進行分類討論,再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性,可得函數(shù)logax在[2,8]上的單調性,進而可得其最大最小值,相差可得a,從而求出答案.
(3)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性,可得函數(shù)y=ax在[0,3]上是增函數(shù),進而可得其最大最小值,相加可得答案.
解答:解:(1)令y=f(x)=ax
由有x=logay
故函數(shù)的反函數(shù)的解析式是y=logax,(x>0)
(2)當a>1時.函數(shù)y=logax在[2,8]上是增函數(shù),
所以最大值為loga8,最小值為loga2,
最大值與最小值的差是2,
∴l(xiāng)oga8-loga2=2,解得:a=2;
當0<a<1時.函數(shù)y=logax在[2,8]上是減函數(shù),
所以最大值為loga2,最小值為loga8,
最大值與最小值的差是2,
∴l(xiāng)oga2-loga8=2,解得:a=
1
2
;
綜上所述,a的值2或
1
2
;
(3)當a=2時,函數(shù)y=2x在[0,3]上是增函數(shù),函數(shù)y=f(x)的值域為:[1,8];
當a=
1
2
時,函數(shù)y=
1
2
x在[0,3]上是增函數(shù),函數(shù)y=f(x)的值域為:[
1
8
,1];
點評:本題考查反函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域與最值.在處理指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)問題時,若對數(shù)未知,一般情況下要對底數(shù)進行分類討論,分為0<a<1,a>1兩種情況,然后在每種情況對問題進行解答,然后再將結論綜合,得到最終的結果
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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2x
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