Question

（2013•青島一模）已知點A（2，0），B（0，-2），F(xiàn)（-2，0），設∠AOC=α，α∈[0，2π），其中O為坐標原點．
（Ⅰ）設點C到線段AF所在直線的距離為

3

，且∠AFC=

π

3

，求α和線段AC的大小；
（Ⅱ）設點D為線段OA的中點，若|

OC

|=2，且點C在第二象限內，求M=（

3

DC

•

OB

+

BC

•

OA

）cosα的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過C作AF的垂線，垂足為E，由條件求得∠FOC=

π

3

，從而求得α，在△AFC中，由余弦定理求得AC的值．
（Ⅱ）由條件求得

DC

、

OB

、

OA

 的坐標，化簡 M=（

3

DC

•

OB

+

BC

•

OA

）cos α的解析式為4cos（2α+

π

3

）+2，再根據(jù)α的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域求得M的范圍．

解答：解：（Ⅰ）過C作AF的垂線，垂足為E，則CE=

3

 
在直角三角形FCE中，FC=

CE

sin∠CFE

=2，
又OF=2，∠OFC=

π

3

，所以△OFC為正三角形
所以∠FOC=

π

3

，從而α=π-∠FOC=

2π

3

，或α=π+∠FOC=

4π

3

…（4分）
在△AFC中，AC=

AF2+CF2-2AF•CFcos∠AFC

=

42+22-2×2×4× 1 2

=2

3

…（6分）
（Ⅱ）∵A（2，0），點D為線段OA的中點，∴D（1，0）…（7分）
∵|

OC

|=2且點C在第二象限內，
∴C（2cosα，2sinα），α∈(

π

2

，π)…（8分）
從而

DC

=（2cosα-1，2sinα），

BC

=（2cosα，2sinα+2），

OA

=（2，0），

OB

=（ 0，-2）．
則M=（

3

DC

•

OB

+

BC

•

OA

）cos α=-4

3

sinαcosα+4cos²α 
=-2

3

sin2α+2（1+cos2α）=4cos（2α+

π

3

）+2，…（10分）
因為α∈（

π

2

，π），所以，2 α+

π

3

∈（

4π

3

，

7π

3

），從而-

1

2

＜cos(2α+

π

3

)≤1，
所以M的取值范圍為（0，6]．…（12分）

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積，余弦定理以及余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．