Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2xsinθ﹣1，x∈[﹣ ， ]．
（1）當 時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[﹣ ， ]上是單調(diào)增函數(shù)，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當θ= 時，f（x）=x2+x﹣1=（x+ ）2﹣ ，

由于x∈[﹣ ， ]，故當x=﹣ 時，f（x）有最小值﹣ ；

當x= 時，f（x）有最大值﹣ ．

（2）解：因為f（x）=x2+2xsinθ﹣1的對稱軸為x=﹣sinθ，

又欲使f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上是單調(diào)函數(shù)，

則﹣sinθ≤﹣ ，或﹣sinθ≥ ，即sinθ≥ 或sinθ≤﹣

因為θ∈[0，2π]，

故所求θ的范圍是[ ， ]∪[ ， ]．

【解析】（1）當θ= 時，f（x）=x2+x﹣1=（x+ ）2+ ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最大值和最小值．（2）利用f（x）=x2+2xsinθ﹣1的對稱軸為x=﹣sinθ，由題意可得﹣sinθ≤﹣ ，或﹣sinθ≥ ，求得sinθ的范圍，再結(jié)合θ的范圍，確定出θ的具體范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．