【題目】設函數,其圖象在點處切線的斜率為-3.
(1)求與關系式;
(2)求函數的單調區(qū)間(用只含有的式子表示);
(3)當時,令,設是函數的兩個零點, 是與的等差中項,求證: (為函數的導函數).
【答案】(1)(2)見解析(3)見解析
【解析】試題分析:(1)由導數的幾何意義得,即可得解;
(2)由(1)知, ,討論, 和時導數的正負,從而得函數的單調性;
(3)根據條件得,兩式作差得,從而得, ,構造函數求最值即可證得.
試題解析:
(1)函數的定義域為,
,由得, .
(2)由(1)知, ,
①當時, 在上單調遞減;
②當時,令,得,
在上單調遞減,在上單調遞增;
③當時,若時, 在上單調遞減;
若時, 在上單調遞增,在上單調遞減;
綜上,當時, 的單調減區(qū)間為,單調增區(qū)間為,
當時, 的單調減區(qū)間為,
當時, 的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為.
(3)當時, ,則, ,
∵與是函數的兩個零點,∴,
兩式相減得, ,
∵,∴ ,
∵,∴ ,
∴ ,
令,∵,∴ , ,
,
∴在單調遞減,∴, ,∴ .
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【題目】如圖,島、相距海里.上午9點整有一客輪在島的北偏西且距島 海里的處,沿直線方向勻速開往島,在島停留分鐘后前往市.上午測得客輪位于島的北偏西且距島 海里的處,此時小張從島乘坐速度為海里/小時的小艇沿直線方向前往島換乘客輪去市.
(Ⅰ)若,問小張能否乘上這班客輪?
(Ⅱ)現測得, .已知速度為海里/小時()的小艇每小時的總費用為()元,若小張由島直接乘小艇去市,則至少需要多少費用?
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【題目】已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別為240,160,160.現采用分層抽樣的方法從中抽。访瑢W去某敬老院參加獻愛心活動.
(Ⅰ)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人?
(Ⅱ)設抽出的7名同學分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作.
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;
(ii)設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率.
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【題目】在直角坐標系中,以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.己知圓的圓心的坐標為半徑為,直線的參數方程為為參數)
(Ⅰ)求圓C的極坐標方程;直線的普通方程;
(Ⅱ)若圓C和直線相交于A,B兩點,求線段AB的長.
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【題目】已知橢圓E的中心在原點,焦點在x軸上,橢圓的左頂點坐標為,離心率為.
求橢圓E的方程;
過點作直線l交E于P、Q兩點,試問:在x軸上是否存在一個定點M,使為定值?若存在,求出這個定點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數方程為(, 為參數).以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)當時,求曲線上的點到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點都在直線的下方,求實數的取值范圍.
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【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯網共享單車“忽如一夜春風來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調查機構借助網絡進行了問卷調查,并從參與調查的網友中抽取了200人進行抽樣分析,得到下表(單位:人):
(Ⅰ)根據以上數據,能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關?(Ⅱ)現從所抽取的30歲以上的網友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(1)分別求這5人中經常使用、偶爾或不用共享單車的人數;
(2)從這5人中,再隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
參考數據:
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【題目】下面有五個命題:
①函數的最小正周期是;
②終邊在y軸上的角的集合是;
③在同一坐標系中,函數的圖象和函數的圖象有一個公共點;
④把函數;
⑤在中,若,則是等腰三角形;
其中真命題的序號是( )
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4)
C.(3)(4)(5) D.(1)(4)(5)
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【題目】某種樹苗栽種時高度為A(A為常數)米,栽種n年后的高度記為f(n).經研究發(fā)現f(n)近似地滿足 f(n)=,其中,a,b為常數,n∈N,f(0)=A.已知栽種3年后該樹木的高度為栽種時高度的3倍.
(1)栽種多少年后,該樹木的高度是栽種時高度的8倍;
(2)該樹木在栽種后哪一年的增長高度最大.
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