【題目】如圖,等腰梯形中,,,中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置(平面).

(Ⅰ)證明:;

(Ⅱ)若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.

【答案】(I)見解析;(II).

【解析】

(I)先證明,再證明;(II)在平面POB內(nèi)作PQ⊥OB,垂足為Q,

證明OP⊥平面ABCE,以O為原點,OE為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法求二面角的余弦值.

(I)證明:在等腰梯形ABCD中,連接BD,交AE于點O,

∵AB||CE,AB=CE,∴四邊形ABCE為平行四邊形,∴AE=BC=AD=DE,

∴△ADE為等邊三角形,∴在等腰梯形ABCD中,,,

∴在等腰中,

,即BD⊥BC,

∴BD⊥AE,

翻折后可得:OP⊥AE,OB⊥AE,又,

;

(II)解:在平面POB內(nèi)作PQ⊥OB,垂足為Q,

因為AE⊥平面POB,∴AE⊥PQ,

因為OB平面ABCE, AE平面ABCE,AEOB=O

∴PQ⊥平面ABCE,∴直線PB與平面ABCE夾角為,

又因為OP=OB,∴OP⊥OB,

∴O、Q兩點重合,即OP⊥平面ABCE,

以O為原點,OE為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系,由題意得,各點坐標為,

設平面PCE的一個法向量為

,則y=-1,z=1,

由題意得平面PAE的一個法向量,

設二面角A-EP-C為,.

易知二面角A-EP-C為鈍角,所以.

練習冊系列答案
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