Question

【題目】已知橢圓C: ()的右焦點(diǎn)為F(2,0),且過(guò)點(diǎn)P(2, ). 直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F且交橢圓C于A、B兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M(),求直線(xiàn)的方程。

Answer 1

【答案】（1）；（2） 或

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為,則 ，解出即可得方程；

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí),不符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x－2), AB的中點(diǎn)為N（x0，y0），聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用k表示出AB中點(diǎn)N的坐標(biāo)，由題意得kMNk=-1，即，把x0，y0用k表示出來(lái)即得關(guān)于k的方程，解出方程然后運(yùn)用點(diǎn)斜式即可求得l的方程.

試題分析：

（1）設(shè)橢圓C的方程為,則 ,解得,,所以橢圓C的方程為,

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí),不符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x－2),

A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),

由得,

因?yàn)?/span>, 所以,

所以,, 因?yàn)榫�(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(),

所以,即,所以, 解得, ,

所以直線(xiàn)l的方程為 或