【題目】如圖所示，已知四邊形是菱形，平面平面，，.

（1）求證：平面平面.

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面；

（2）設(shè)與交于點(diǎn)O，連接，可證平面.以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，即求二面角的余弦值.

（1）證明：菱形中，，

又平面平面，平面平面，

平面.又平面，

平面平面.

（2）設(shè)與交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)?/span>，且，

四邊形是平行四邊形，.

，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面.

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

則，，，，

，.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，則，

.

又平面的法向量為.

設(shè)二面角的大小為，則為銳角.

，

二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市教育局為了監(jiān)控某校高一年級(jí)的素質(zhì)教育過(guò)程，從該校高一年級(jí)16個(gè)班隨機(jī)抽取了16個(gè)樣本成績(jī)，制表如下：

抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8

測(cè)評(píng)成績(jī)

95

96

96

90

95

98

98

97

抽取次序

9

10

11

12

13

14

15

16

測(cè)評(píng)成績(jī)

97

95

96

98

99

96

99

96

令為抽取的第個(gè)學(xué)生的素質(zhì)教育測(cè)評(píng)成績(jī)，，經(jīng)計(jì)算得，，，，以下計(jì)算精確到0.01.

（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答與是否可以認(rèn)為具有較強(qiáng)的相關(guān)性；

（2）在抽取的樣本成績(jī)中，如果出現(xiàn)了在之外的成績(jī)，就認(rèn)為本學(xué)期的素質(zhì)教育過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)本學(xué)期的素質(zhì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行反思，同時(shí)對(duì)下學(xué)期的素質(zhì)教育過(guò)程提出指導(dǎo)性的建議，從該校抽樣的結(jié)果來(lái)看，是否需對(duì)本學(xué)期的素質(zhì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行反思，同時(shí)對(duì)下學(xué)期的素質(zhì)教育過(guò)程提出指導(dǎo)性的建議？

附：樣本的相關(guān)系數(shù)，若，則可以認(rèn)為兩個(gè)變量具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸與短軸比值是2，橢圓C過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作圓x2+y2=1的切線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，記△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數(shù)，并求S△AOB的最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)，斜率為的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，且滿足，試求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】天津市某學(xué)校組織教師進(jìn)行“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)則為：每位參賽教師都要回答3個(gè)問(wèn)題，且對(duì)這三個(gè)問(wèn)題回答正確與否相互之間互不影響，若每答對(duì)1個(gè)問(wèn)題，得1分；答錯(cuò)，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分一、二、三等獎(jiǎng)分別給予獎(jiǎng)勵(lì)．已知對(duì)給出的3個(gè)問(wèn)題，教師甲答對(duì)的概率分別為，，p．若教師甲恰好答對(duì)3個(gè)問(wèn)題的概率是，則________；在前述條件下，設(shè)隨機(jī)變量X表示教師甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著生活水平的提高和人們對(duì)健康生活的重視，越來(lái)越多的人加入到健身運(yùn)動(dòng)中.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)顯示，2019年有4億國(guó)人經(jīng)常參加體育鍛煉.某健身房從參與健身的會(huì)員中隨機(jī)抽取100人，對(duì)其每周參與健身的天數(shù)和2019年在該健身房所有消費(fèi)金額（單位：元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表及統(tǒng)計(jì)圖：

平均每周健身天數(shù)

不大于2

3或4

不少于5

人數(shù)（男）

20

35

9

人數(shù)（女）

10

20

6

若某人平均每周進(jìn)行健身天數(shù)不少于5，則稱其為“健身達(dá)人”.該健身房規(guī)定消費(fèi)金額不多于1600元的為普通會(huì)員，超過(guò)1600元但不超過(guò)3200元的為銀牌會(huì)員，超過(guò)3200元的為金牌會(huì)員.

（1）已知金牌會(huì)員都是健身達(dá)人，現(xiàn)從健身達(dá)人中隨機(jī)抽取2人，求他們均是金牌會(huì)員的概率；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別和是否為“健身達(dá)人”有關(guān)系？

（3）該健身機(jī)構(gòu)在2019年年底針對(duì)這100位消費(fèi)者舉辦一次消費(fèi)返利活動(dòng)，現(xiàn)有以下兩種方案：

方案一：按分層抽樣從普通會(huì)員、銀牌會(huì)員和金牌會(huì)員中共抽取25位“幸運(yùn)之星”，分別給予188元，288元，888元的幸運(yùn)獎(jiǎng)勵(lì)；

方案二：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：摸獎(jiǎng)箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片，其中3張印跑步機(jī)圖案、2張印動(dòng)感單車圖案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一張，若摸到動(dòng)感單車的總數(shù)為2，則獲得100元獎(jiǎng)勵(lì)，若摸到動(dòng)感單車的總數(shù)為3，則獲得200元獎(jiǎng)勵(lì)，其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì).規(guī)定每個(gè)普通會(huì)員只能參加1次摸獎(jiǎng)游戲，每個(gè)銀牌會(huì)員可參加2次摸獎(jiǎng)游戲，每個(gè)金牌會(huì)員可參加3次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立）.

請(qǐng)你比較該健身房采用哪一種方案時(shí)，在此次消費(fèi)返利活動(dòng)中的支出較少，并說(shuō)明理由.

附：，其中為樣本容量.

0.50

0.25

0.10

0.05

0.010

0.005

0.455

1.323

2.706

3.841

6.636

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】企業(yè)為了監(jiān)控某種零件的一條流水生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量，檢驗(yàn)員從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件，測(cè)量其尺寸（單位：）并經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，得到這100個(gè)零件的平均尺寸為10，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5.企業(yè)規(guī)定：若，該零件為一等品，企業(yè)獲利20元；若且，該零件為二等品，企業(yè)獲利10元；否則，該零件為不合格品，企業(yè)損失40元.

（1）在某一時(shí)刻內(nèi)，依次下線10個(gè)零件，如果其中出現(xiàn)了不合格品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查若這10個(gè)零件的尺寸分別為9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，則從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？

（2）將樣本的估計(jì)近似地看作總體的估計(jì)通過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，該零件的尺寸服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

（i）從下線的零件中隨機(jī)抽取20件，設(shè)其中為合格品的個(gè)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望（結(jié)果保留整數(shù)）

（ii）試估計(jì)生產(chǎn)10000個(gè)零件所獲得的利潤(rùn).

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則，，.

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