Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，
（1）若當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有一個負(fù)根，求a取值的集合；
（3）若f（x）滿足條件：

f(2)≤12 f(-1)≤3

求f（1）的取值范圍；
（4）若0≤b≤4，0≤c≤4，且b，c∈Z，記函數(shù)f（x）滿足條件（2）的事件為A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2，即已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-2），代入即可解得b、c的值
（2）方程f（x）=x+a即方程x²+3x-a=0，至少有一個負(fù)根即有兩個負(fù)根或有一個正根和一個負(fù)根或有一個零根和一個負(fù)根，分別討論a的取值范圍，最后求并集即可
（3）

f(2)≤12 f(-1)≤3

即

2b+c-8≤0 b-c+2≥0

，f（1）=b+c+1，利用待定系數(shù)法，可得b+c+1=

2

3

(2b+c-8)-

1

3

(b-c+2)+7，由同向不等式相加性即可得f（1）的取值范圍
（4）b有5個數(shù)可選，c也有5個數(shù)可選，故事件發(fā)生的總數(shù)為5×5=25種可能，利用列舉法可得事件A的基本數(shù)為16，由古典概型概率公式可得事件A發(fā)生的概率

解答：解：（1）∵當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時，函數(shù)f（x）取得最小值-2，
∴二次函數(shù)f（x））=x²+bx+c 的對稱軸是x=-2
且有f（-2）=4-2b+c=-2，即2b-c=6，∴b=4，c=2
∴f（x））=x²+4x+2
（2）方程f（x）=x+a至少有一個負(fù)根，即方程x²+3x-a=0至少有一個負(fù)根
第一種：兩個負(fù)根
∴

△=9-4(2-a)≥0 2-a＞0

⇒

a≥- 1 4 a＜2

⇒-

1

4

≤a＜2
第二種：一個正根和一個負(fù)根
2-a＜0⇒a＞2
第三種：一個零根和一個負(fù)根
2-a=0⇒a=2
綜上可知：當(dāng)方程f（x）=x+a（a∈R）至少有一個負(fù)根時，符合題意的實(shí)數(shù)a取值的集合為{a|a≥-

1

4

}                  
（3）由

f(2)≤12 f(-1)≤3

得

2b+c-8≤0 b-c+2≥0

而f（1）=b+c+1
設(shè)b+c+1=x（2b+c-8）+y（b-c+2）+z，得

x= 2 3 y=- 1 3 z=7

即得f（1）=b+c+1=

2

3

(2b+c-8)-

1

3

(b-c+2)+7，
∴可求得f（1）≤7，等號成立的條件是b=2．c=4．                
（4）事件發(fā)生的總數(shù)為5×5=25種可能，事件A的基本數(shù)為（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0）共16種，故所求事件A發(fā)生的概率為

16

25

點(diǎn)評：本題綜合考察了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次方程根的分布，待定系數(shù)法求代數(shù)式的范圍及古典概型的概率計算，題目綜合性強(qiáng)，解題時要具有較強(qiáng)的綜合能力和運(yùn)算能力