Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）函數(shù)存在零點(diǎn)問題，要研究函數(shù)的變化趨勢，從函數(shù)解析式可看出時， ，因此函數(shù)必有負(fù)值，求出其導(dǎo)數(shù)，可對

其中的求導(dǎo)后確定其單調(diào)性及零點(diǎn)，從而確定的正負(fù)得的極小值，由極小值小于0可得結(jié)論；

（Ⅱ）恒成立，即的最小值，由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可得有最小值，只是最小值點(diǎn)不能直接確定，可設(shè)為，由得，這樣最小值中參數(shù)可用替換為，由得， ，右邊作為一個函數(shù)可由導(dǎo)數(shù)求得其最大值，即得的最小值．

試題解析：

（Ⅰ）由題意，得.

所以

.

設(shè)，由于在上單調(diào)遞增，且，

當(dāng)時， ，所以在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時， .

因?yàn)楹瘮?shù)存在零點(diǎn)，且時， ，

所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（Ⅱ）由題意，得

因?yàn)?/span>，令，得.

設(shè)，由于在上單遞增，

當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，

所以存在唯一，使得，即 .

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，

.

因?yàn)?/span>恒成立，

所以，即 .

.

設(shè)，

則

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時， .

所以當(dāng)，即時，

.