Question

已知a＞0，且a≠1，設(shè)p：函數(shù)y=a^x在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；q：方程ax2+x+

1

2

=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則a的取值范圍是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：分別求出p，q成立的等價(jià)條件，利用“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求a的取值范圍．

解答：解：若函數(shù)y=a^x在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則0＜a＜1，即p：0＜a＜1．
若方程ax2+x+

1

2

=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△=1-4a×

1

2

=1-2a＞0，
解得a＜

1

2

，即q：a＜

1

2

．
若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
則p，q一真一假，
若p真q假，則

0＜a＜1 a≥ 1 2

，解得

1

2

≤a＜1．
若p假q真，則

a＞1 a＜ 1 2

，此時(shí)a無(wú)解．
綜上：a的取值范圍是[

1

2

，1)．
故答案為：[

1

2

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系的判斷，利用條件先求出命題p，q成立的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．