Question

【題目】定義區(qū)間，，，的長度為.如果一個(gè)函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長度之和為（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)），那么稱這個(gè)函數(shù)為“函數(shù)”.下列四個(gè)命題：

①函數(shù)不是“函數(shù)”；

②函數(shù)是“函數(shù)”，且；

③函數(shù)是“函數(shù)”；

④函數(shù)是“函數(shù)”，且.

其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的圖象，對四個(gè)命題逐一判斷出真假。

分析命題①： 定義域?yàn)?/span>，，

，函數(shù)在上是單調(diào)遞增，顯然這個(gè)區(qū)間沒有長度，因此函數(shù)不是“函數(shù)”，故命題①是真命題。

分析命題②：，定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，

構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，，圖象如下圖所示：

通過圖象可知當(dāng)，而，即， ，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，增區(qū)間的長度為，又因?yàn)?/span>顯然有成立，所以函數(shù)是“m函數(shù)”， 即成立，故命題②是真命題。

分析命題③： 函數(shù) 定義域?yàn)?/span>，

顯然時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，增區(qū)間為，而區(qū)間沒有長度，故函數(shù)不是“函數(shù)”，故命題③是假命題。

分析命題④：函數(shù) 定義域，

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，故只需成立，是增函數(shù)，

也就是成立，是增函數(shù)，構(gòu)造二個(gè)函數(shù)， 如下圖所示：

通過圖象可知：當(dāng)時(shí)，，而，所以。從而有時(shí)，時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，顯然區(qū)間長度為，而

所以函數(shù)是“函數(shù)”，又，即。故命題④是真命題。

綜上所述：正確的命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故本題選B。