Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別在棱AA₁和CC₁上（含線段端點(diǎn)）．
（1）如果AE=C₁F，試證明B，E，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
（2）在（1）的條件下，是否存在一點(diǎn)E，使得直線A₁B和平面BFE所成角等于

π

6

？如果存在，確定E的位置；如果不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中，由AE=C₁F容易證明得D₁F=BE，D₁F∥BE，B，E，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
（2）過(guò)點(diǎn)A₁作A₁O⊥平面ABC₁垂足為O，則∠A₁BO即為A₁B與平面ABC₁所成的角，由等體積法可求A₁O，在Rt△A₁BO中sin∠A1BO=

A1O

AB

=

1

2

可得∠A1BO=

π

6

，所以可求得當(dāng)與A重合時(shí)滿足條件

解答：證明：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中，由AE=C₁F可得△AEB≌△D₁C₁F，從而可得D₁F=BE，由等角定理可得D₁F∥BE四邊形BED₁F為平行四邊形故，B，E，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E
過(guò)點(diǎn)A₁作A₁O⊥平面ABC₁垂足為O，則∠A₁BO即為A₁B與平面ABC₁所成的角
由VA1- ABC1=VC1- ABA1可得A1O=

1 3 ×S△ABA1×1

1 3 ×S△ABC1

=

2

2

在Rt△A₁BO中sin∠A1BO=

A1O

AB

=

2 2

2

=

1

2

∴∠A1BO=

π

6

當(dāng)E與A重合時(shí)滿足條件

點(diǎn)評(píng)：等體積法求解錐體的高是高考在立體幾何部分的考查熱點(diǎn)和重點(diǎn)，出現(xiàn)的頻率比較高，線面角的求解的關(guān)鍵是先要尋求線面垂足，進(jìn)而找出角，然后在直角三角形中求解出角．