Question

19．設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且$3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$，則△PAC的面積與△ABC的面積之比為（　�。�

• A． $\frac{3}{7}$
• B． $\frac{4}{7}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 分別延長 PA、PB 至A₁、B₁，使PA₁=3PA，PB₁=3PB，
利用$\overrightarrow{{PA}_{1}}$+$\overrightarrow{{PB}_{1}}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$得點P是三角形 A₁B₁C的重心，
設(shè)△A₁B₁C的面積為 3S，表示出S_△PAC、S_△PBC和S_△PAB，
即可得出△PAC與△ABC的面積之比．

解答 解：如圖所示，
分別延長 PA、PB 至A₁、B₁，使PA₁=3PA，PB₁=3PB，
則由$3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$
得$\overrightarrow{{PA}_{1}}$+$\overrightarrow{{PB}_{1}}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
故點P是三角形 A₁B₁C的重心，
設(shè)△A₁B₁C的面積為 3S，則
${S}_{{△A}_{1}PC}$=${S}_{{△B}_{1}PC}$=${S}_{{{△A}_{1}B}_{1}P}$=S，
S_△PAC=$\frac{1}{3}$${S}_{△{PA}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$S，
S_△PBC=$\frac{1}{3}$${S}_{△{PB}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$S，
S_△PAB=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$${S}_{△{{PA}_{1}B}_{1}}$=$\frac{1}{9}$S，
所以△PAC與△ABC的面積之比為
$\frac{{S}_{△PAC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{3}S}{\frac{1}{3}S+\frac{1}{3}S+\frac{1}{9}S}$=$\frac{3}{7}$．
故選：A．

點評 本題考查了向量的幾何意義，作輔助線得出點P是三角形 A₁B₁ C的重心是解題的關(guān)鍵，屬綜合性題目．