Question

某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤(rùn)是每件8元,每提高一個(gè)檔次,利潤(rùn)每件增加2元,但在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時(shí)間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問(wèn)在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大?有多少元?

Answer 1

在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.

思路分析:在一定條件下,“利潤(rùn)最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強(qiáng)度最大”等問(wèn)題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學(xué)上這類問(wèn)題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.除了常見(jiàn)的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無(wú)論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.
解法一:設(shè)相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第x(x∈N^*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)y最大.      2分
依題意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］                              4分
=－6x²+108x+378=－6(x－9)²+864(1≤x≤10),                               8分
顯然,當(dāng)x=9時(shí),y_max=864(元),
即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.       10分
解法二:由上面解法得到y=－6x²+108x+378.
求導(dǎo)數(shù),得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,
解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最值點(diǎn),即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.
【名師指引】一般情況下,對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見(jiàn),導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間.