Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P．

（1）求證：平面PBD⊥平面BFDE；
（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P．

∴PD⊥PF，PD⊥PE，

∵PE∩PF=P，PE、PF平面PEF．

∴PD⊥平面PEF．

又∵EF平面PEF，

∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，

∴EF⊥平面PBD，

又EF平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE

（2）解：連結(jié)BD、EF，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)在正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則DO= ， = ，PE=PF=1，PO= = ，

∴P（0，0， ），D（0， ，0），E（﹣ ，0，0），F(xiàn)（ ，0，0），

=（﹣ ，﹣ ，0）， =（0，﹣ ， ）， =（ ，﹣ ，0），

設(shè)平面PDE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取y=1，則 =（﹣3， ，3），

平面DEF的法向量 =（0，0，1），

設(shè)二面角P﹣DE﹣F的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出PD⊥PF，PD⊥PE，則PD⊥平面PEF，由此能證明平面PBD⊥平面BFDE．（2）連結(jié)BD、EF，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值．