Question

橢圓的兩個焦點F₁、F₂，點P在橢圓C上，且P F₁⊥F₁F₂，| P F₁|=，| P F₂|=。
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線L過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線L的方程。

Answer 1

(Ⅰ) ＝1. (Ⅱ) 8x－9y+25="0."

本試題主要考查了橢圓方程的求解直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。
（1）)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.
在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,
從而b²=a²－c²=4,所以橢圓C的方程為＝1.
（2）已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且
①        ②
點差法得到結(jié)論。
解法一：(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.
在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,
從而b²=a²－c²=4,所以橢圓C的方程為＝1.
(Ⅱ)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.  由圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.  從而可設(shè)直線l的方程為   y=k(x+2)+1,
代入橢圓C的方程得 （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.
因為A，B關(guān)于點M對稱.  所以  解得，
所以直線l的方程為  即8x-9y+25=0.   (經(jīng)檢驗，符合題意)
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且
①        ②
由①－②得            ③
因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,
代入③得＝，即直線l的斜率為，
所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)