Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，且其焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）到相應(yīng)準(zhǔn)線l的距離為3，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓的右頂點(diǎn)，則直線AM，BM與準(zhǔn)線l分別交于P，Q兩點(diǎn)（P，Q兩點(diǎn)不重合），求證：

FP

•

FQ

=0．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)題意通過(guò)離心率和焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離聯(lián)立方程求得a和c，則b可得，進(jìn)而求得橢圓的方程．
（Ⅱ）先看直線AB與x軸垂直時(shí)，把x=1代入橢圓方程求得P，Q的坐標(biāo)，則

FP

和

FQ

可求，進(jìn)而求得

FP

•

FQ

=0；再看若直線AB與X軸不垂直，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁y₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線，斜率相等求得y₃和y₄的表達(dá)式，表示出

FP

和

FQ

，進(jìn)而求得

FP

•

FQ

=0．

解答：解：（Ⅰ）由題意有

c a = 1 2 a2 c -c=3

解得a=2，c=1
從而b=

a2-c2

=

3

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）①若直線AB與x軸垂直，則直線AB的方程是x=1
∵該橢圓的準(zhǔn)線方程為x=4，
∴P（4，3），Q（4，3），∴

FP

=（3，-3），

FQ

=（3，3）
∴

FP

FQ

=0
∴當(dāng)直線AB與X軸垂直時(shí)，命題成立．
②若直線AB與X軸不垂直，則設(shè)直線AB的斜率為k，
∴直線AB的方程為y=k（x-1），k≠0
又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消y得，根據(jù)韋達(dá)定理可知
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

∴y₁y₂=k2（x₁-1）（x₂-1）=

8-9k2

3+4k2

又∵A、M、P三點(diǎn)共線，∴y₃=

2y1

x1-2

同理y₄=

2y2

x2-2

∴

FP

=（3，

2y1

x1-2

），

FQ

=（3，

2y2

x2-2

）
∴

FP

•

FQ

=9+

4y1y2

x1x2-2(x1 +x2)+4

=0
綜上所述：

FP

•

FQ

=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的關(guān)系問(wèn)題．解決直線與圓錐曲線的關(guān)系時(shí)，注意討論直線的斜率不存在的情況．